Definition of Probability — $P(A) = n(A)/n(S)$
A single fraction turns randomness into something we can measure.
2.1에서 경우의 수를 세는 두 도구 — 합의 법칙과 곱의 법칙 — 을 배웠습니다. 이제 그 경우의 수를 가지고 본격적으로 확률을 정의합니다.
확률은 단순한 분수입니다. 일어나길 원하는 경우의 수를 모든 경우의 수로 나눈 값. 주사위에서 짝수가 나올 확률 = $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. 이렇게 우연한 사건의 가능성을 $0$과 $1$ 사이의 숫자로 표현할 수 있습니다.
또한 이 차시에서 두 가지 종류의 확률 — 이론적으로 계산하는 수학적 확률과 실험을 반복해 얻는 통계적 확률 — 을 함께 만납니다. 둘은 시행을 충분히 많이 하면 결국 같은 값에 수렴합니다. 이것이 큰 수의 법칙의 직관입니다.
One formula — the foundation of all probability.
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 $n(S)$일 때, 사건 $A$가 일어날 경우의 수가 $n(A)$이라면, 사건 $A$가 일어날 확률은 다음과 같이 정의됩니다.
전제: 일어날 수 있는 모든 경우의 결과가 같은 가능성으로 발생해야 합니다 (등확률 가정). 주사위는 모든 면이 같은 가능성, 동전은 앞·뒷면이 같은 가능성으로 나온다고 가정.
모든 경우 (분모): 주사위의 모든 결과 = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ → $n(S) = 6$.
짝수인 경우 (분자): $\{2, 4, 6\}$ → $n(A) = 3$.
즉 주사위를 한 번 던지면 $50\%$의 확률로 짝수가 나옵니다. 직관과 일치하죠.
Theory and experiment — two paths to the same truth.
이론적으로 경우의 수를 세어 계산한 확률. 등확률 가정 아래 분수로 정의.
실제로 시행을 많이 반복해 사건 $A$가 일어난 비율을 관찰. 시행 횟수가 늘수록 어떤 값에 수렴.
실험을 무한히 반복할 수 있다면 — 통계적 확률 → 수학적 확률. 동전을 $10$번 던지면 앞면이 $7$번 나올 수도 있지만, $10{,}000$번 던지면 거의 정확히 $5{,}000$번이 됩니다. 이것이 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers) — 확률론의 가장 깊은 원리.
Three properties that follow immediately from the definition.
사건 $A$의 경우의 수 $n(A)$는 $0$ 이상이고, 사건 $A$는 표본공간 $S$의 부분집합이므로 $n(A) \le n(S)$.
$n(S) > 0$이므로 양변을 $n(S)$로 나누면: $\dfrac{0}{n(S)} \le \dfrac{n(A)}{n(S)} \le \dfrac{n(S)}{n(S)}$. 따라서 $0 \le P(A) \le 1$. Q.E.D.
Watch the statistical probability converge to 1/2 as you flip more.
Quick checks on probability.
Applying the definition of probability.
$1$부터 $50$까지의 자연수 → $n(S) = 50$.
$10$의 배수: $\{10, 20, 30, 40, 50\}$ → $n(A) = 5$.
$P(\text{10의 배수}) = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}$.
곱의 법칙: $n(S) = 6 \times 6 = 36$.
$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ → $n(A) = 6$.
$P(\text{합} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
확률 $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$. 분자는 "원하는 경우", 분모는 "모든 경우". 값은 항상 $0$과 $1$ 사이이며, $0$은 불가능, $1$은 확실. 그리고 시행을 많이 하면 통계적 확률은 수학적 확률에 수렴한다 — 큰 수의 법칙.